Απόδειξη Λήμματος για την Ύπαρξη Ακέραιου Μέρους

Εισαγωγή στην Άσκηση

Είναι πολύ σημαντικό να μπορείς να φτιάχνεις μια απόδειξη από μια οπτική/διαισθητική ιδέα.

Αυτήν την ικανότητα είχες μια πρώτη ευκαιρία να την εξασκίσεις μέσα από ορισμένες ασκήσεις στις προηγούμενες παρουσιάσεις.

Σημαντικό, όμως, είναι και το αντίστροφο:
Να μπορείς να καταλαβαίνεις την ιδέα πίσω από μια απόδειξη που σου δίνουν έτοιμη.

Αυτό θα εξασκήσουμε με αυτήν την άσκηση.

Θεωρία

Η απόδειξη του Λήμματος βήμα - βήμα

Λήμμα: Κάθε μη κενό, κάτω φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{Z}$ έχει ελάχιστο στοιχείο.

Απόδειξη:

Έστω $A$ ένα τέτοιο σύνολο και $x$ ένα κάτω φράγμα του.
Από Αρχιμήδεια Ιδιότητα, υπάρχει $n \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $n > -x \implies -n < x$.
Θέτουμε $m = -n$. Γνωρίζουμε για το $m$ ότι $\forall k \in A: m = -n < x \leq k$. Άρα $m$ κάτω φράγμα του $A$ και $m \in \mathbb{Z}$.
Ορίζουμε $B = \{k-m: k \in A\}$. Τότε $B \neq \emptyset$ και $B \subset \mathbb{N}$. i Γιατί το Α είναι μη κενό και $\forall k \in A: m < k \iff k-m>0$ και $k-m \in \mathbb{Z}$, άρα $k-m \in \mathbb{N}$.
Από Αρχή Ελαχίστου, υπάρχει $l_0 = \min(B)$.
Τότε $l_0 \in B \implies \exists k_0 \in A: l_0 = k_0 - m$.
$\forall k \in A: k - m \in B \implies l_0 \leq k-m \implies k_0-m \leq k-m \implies k_0 \leq k$.
Δηλαδή $k_0 \in A$ και $k_0 \leq k \quad \forall k \in A \implies k_0 = \min(A)$.

Μεθοδολογία

Πώς προσεγγίζουμε μια τέτοια απόδειξη;

Μια απόδειξη συνήθως ξεκινάει με ορισμούς διαφόρων βοηθητικών αντικειμένων, των οποίων μπορεί να αποδεικνύουμε την ύπαρξη και κάποιες βασικές ιδιότητες που έχουν.

Στην πρώτη ανάγνωση της απόδειξης, μας ενδιαφέρει κατά βάση το τι είναι αυτά τα αντικείμενα, όχι το γιατί υπάρχουν. i Π.χ., κρατάμε το ότι υπάρχει ένας ακέραιος $m$ που είναι κάτω φράγμα του $A$. Δεν μας ενδιαφέρει αρχικά πώς αιτιολογούμε την ύπαρξή του.

Αυτό που ψάχνουμε είναι η βασική ιδέα της απόδειξης, η οποία συνήθως βρίσκεται κάπου προς το τέλος.

Κατά τη γνώμη σου, ποιο είναι το βασικότερο επιχείρημα που μας δίνει το ελάχιστο του συνόλου $A$;

Αφού πιάσουμε τη βασική ιδέα, επιστρέφουμε σε όλες τις υπόλοιπες λεπτομέρειες που αιτιολογούν την ύπαρξη των βοηθητικών αντικειμένων.

Άσκηση

Η Άσκηση

Βρες τη βασική ιδέα και φτιάξε ένα σχήμα (ή περισσότερα) που να απεικονίζει το πώς προκύπτει το ελάχιστο του συνόλου $A$.

Στη συνέχεια, αιτιολόγησε την ύπαρξη του βοηθητικού αντικειμένου που έχεις βάλει στο σχήμα.